问：
全体自然数平方的倒数之和：1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+1/7²+1/8²+1/9²+·········=？
答：
这个求和问题可以用泰勒级数展开得到精确解。
设f(x)=1/x^2,求f(x)在区间[1,∞)上的泰勒级数展开式:
f(x)=1/x^2 = 1 - 2/x + 3/x^2 - 4/x^3 + 5/x^4 - 6/x^5 + ·····
将上式代入原求和问题:
1/12+1/22+1/32+1/42+1/52+1/62+1/72+1/82+1/92+·········
= (1 - 2/1 + 3/1^2 - 4/1^3 + 5/1^4 - 6/1^5 + ·····)
+ (1 - 2/2 + 3/2^2 - 4/2^3 + 5/2^4 - 6/2^5 + ·····)
+ (1 - 2/3 + 3/3^2 - 4/3^3 + 5/3^4 - 6/3^5 + ·····)
+ ·········
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ·····
= ∞
由此可知,1/12+1/22+1/32+1/42+1/52+1/62+1/72+1/82+1/92+·········的求和结果是∞(无穷)。
该无穷级数为发散级数,虽没有精确有限值,但可以估计它的部分和的值。比如前N项的部分和可以用工程近似公式估算:
S(n) ≈ 1 + 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + ··· ± 1/n
当N趋于无穷大时,S(n)值逐渐接近1。所以,可以认为该无穷级数的极限值为1。