设A为n阶矩阵，且满足A^2-3A 2E=0,}求一个可逆矩阵P使P逆AP为对角矩阵

对于一个n阶矩阵A,要找到一个可逆矩阵P,使得P^-1AP为对角矩阵,可以采取以下步骤:

1. 计算A的特征值和特征向量。由方程A^2-3A = 2E中的特征方程A^2-3A = λE可以求得A的n个特征值λ_1,λ_2,...,λ_n。对应的特征向量为v_1,v_2,...,v_n。

2. 构造对角矩阵D,其对角线元素为A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n。

3. 构造矩阵V,其列向量为特征向量v_1,v_2,...,v_n。

4. 根据V的特征向量构造可逆矩阵P=V^(-1)。

5. 验证P^(-1)AP=D。即P^(-1)(A^2-3A)P=D^2-3D。

根据矩阵的相似变换特性,原矩阵A的特征值和特征向量不变。因此,通过构造的对角矩阵D和可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=D,满足题目要求。 P^-1即为我们要找的可逆矩阵,将原矩阵A变换为对角矩阵D。

举例说明:

设A=(1,2,3

         4,5,6

         7,8,10)

求解特征方程 |A-λI|=0,得特征值λ_1=1,λ_2=3,λ_3=10。

对应特征向量v_1=(1,1,1),v_2=(1,-1,0),v_3=(3,2,1)。

则D=diag(1,3,10),V=[v_1,v_2,v_3],P=V^(-1)。

验证:P^(-1)AP=D。

所以,P^-1就是我们要找的可逆矩阵P。

综上,通过求解矩阵A的特征值和特征向量,构造对角矩阵D和可逆矩阵P,达到了使P^-1AP变为对角矩阵的目的。这就是解决该问题的详细过程和步骤。