双阶乘无穷级数

双阶乘无穷级数是指以双阶乘1×2,2×3,3×4......为连分数的无穷级数。它的一般形式为:

f(x) = 1/1×2 + x/(2×3) + x2/(3×4) + x3/(4×5) + ......

该无穷级数的主要性质有:

1. 收敛区间:-1<x<1。当x满足此条件时,级数收敛;当x<-1或x>1时,级数发散。

2. 和公式:在收敛区间内,无穷级数的和为:S = (ln(1+x) - ln(1-x)) / 2x   其中ln为自然对数函数。

3. 发散点:x = -1,1。当x取这两个值时,级数发散。

4. 连分数形式:该无穷级数可以写成连分数形式:

                                               1

f(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...... = ──────

                                        1 + x/(1 + x/(1 + x/......))

5. 幂级数展开:当-1<x<1时,该无穷级数可以展开为幂级数:

                         ∞

f(x) = Σ (2k-1)!! (2k)!! x2k  / (2k)!!   (k=0,1,2...)

                           k=0

其中(2k-1)!!表示(2k-1)的双阶乘。

6. 积分形式:在收敛区间内,该无穷级数的积分形式为: 

                         x

∫ f(t) dt = ln(1+x) - ln(1-x)   (取定积分常数c = 0) 

                         -x

以上是双阶乘无穷级数的主要性质和形式。通过系列连分数、幂级数和积分形式都可以表达该无穷级数,且在不同区间内有不同的收敛性。这些内容希望能对您解释清楚双阶乘无穷级数。请在需要时在问,我将进一步详细说明。