证明：只有当奇素数p＝10n±1时，x²≡5（modp）才有解

证明:只有当奇素数p=10n±1时,x2≡5(modp)才有解。

1. 首先,当p为奇素数时,p一定是2n+1形式,因此p-1一定是2n形式,是一个偶数。

2. 然后,根据欧拉定理,若gcd(a,p-1)=1,则a^(p-1)≡1(mod p)。在本题中,a=5,p为奇素数,所以gcd(5,p-1)=1。根据欧拉定理,5^(p-1)≡1(mod p)。

3. 接着,将5^(p-1)展开,得到:5^2n≡1(mod p),即(5^n)^2≡1(mod p)。

4. 由于p是一个奇素数,所以根据费马小定理,5^((p-1)/2)≡-1(mod p)。 substitute此式中的p-1值为2n,得:5^n≡-1(mod p)。

5. 结合3和4两式,得:(5^n)^2 ≡ 1(mod p) 且 5^n≡-1(mod p),这说明n必须是偶数。

6. 因为p=10k±1,所以n=2k或2k+1。结合5,n必须是偶数,所以n=2k。

7. 代入3式,(5^(2k))^2 ≡ 1(mod p),展开得x^2 ≡ 5(mod p),其中x = 5^k。

8. 所以,只有当p=10k±1时,x^2≡5(mod p)才有解。

由上述过程可知,只有当p满足p=10n±1时,x2≡5(modp)才有解成立。否则无法同时满足(5^n)^2 ≡ 1(mod p) 且 5^n≡-1(mod p)这两个条件。所以,结论得证。