二次不等式ax²+bx+c大于2ax+b解为任意实数，求b^/3a^+c^最大值

给定二次不等式:ax2+bx+c>2ax+b

要求求b^3/a^2+c的最大值。

解:

1. 先化简该不等式:ax2+(b-2a)x+c>0

2. 令x=0,求c的最小值:c>0

3. 设x=t,已知a!=0,则原不等式可化为:

at2+(b-2a)t+c>0

(t-x1)(t-x2)>0   其中x1,x2是二次函数的两个根。

4. 根据x1,x2的值可以分为三种情况:

(1) x1,x2都大于0,则t可以取任意正实数,b^3/a^2+c的最大值取决于c的最大值,由(2)得c最大值为+∞,b^3/a^2+c最大值也为+∞;

(2) x1>0,x2<0,则0<t<x1,izable c最大值为(b-2a)2/4a2,代入b^3/a^2+c可得最大值; 

(3) x1,x2都小于0,此时t可以取任意负实数, reasoning 同(1),b^3/a^2+c最大值也为+∞。

综上,当二次函数的两个根x1和x2的值情况为:

1) x1,x2都大于0 或 都小于0,则b^3/a^2+c最大值为+∞;

2) x1>0,x2<0,则b^3/a^2+c最大值为(b-2a)2/4a2+c的最大值c=(b-2a)2/4a2。

所以b^3/a^2+c的最大值为(b-2a)2/4a2 或 +∞。

详细的解释过程在上述注释中,如果还有疑问可以提出。