等边△ABC的边长为2，BC中点为O，AB的中点为D,动点P在边BC上运动，△PAE为等腰三角形

根据题意,我们有:

1. △ABC为等边三角形,边长为2cm

2. BC的中点为O点

3. AB的中点为D点

4. 点P在边BC上运动

5. △PAE为等腰三角形

根据以上信息,我们可以得出以下结论:

1. 由于△ABC为等边三角形,所以∠B=∠C=60°,∠A=60°。

2. 点O为BC的中点,所以BO=CO=1cm。

3. 点D为AB的中点,所以AD=DB=1cm。

4. 点P在边BC上运动,所以AP+PB=BC=2cm。且由于△PAE为等腰三角形,所以PE=AE。

5. 连接OD,由于∠ODB=∠COD=30°,∠ODB+∠COD+∠BOD=180°,所以∠BOD=120°。

     同理,∠AOD=120°。所以,△AOD为等角三角形。

6. 由于OD=1cm,OA=1cm。所以,△AOD为等边三角形,边长为1cm。

7. 由于PE=AE,AP+PB=2cm。所以,当P点在B点时,PE=2cm;当P点在C点时,AE=2cm。

8. 由于△PAE为直角三角形,所以PE^2=AP^2+AE^2。

因此,当P在B点时,PE=2cm,AP=1cm,AE=1cm。所以,PE^2=AP^2+AE^2=2^2=4cm^2。

     同理,当P在C点时,也有PE^2=4cm^2。

综上,当点P在边BC上运动时,等腰三角形△PAE的斜边PE的长度为2cm,并且PE^2=4cm^2不变。

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