若f(x)在x=x0处连续且满足limx->x0 f(x)/f(x-x0)=A,则f'(x0)=A?

不一定。要推出f'(x0)=A,需要满足额外的条件。

根据极限的定义,limx->x0 f(x)/f(x-x0)=A表示:对任意ε>0,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时,|f(x)/f(x-x0)-A|<ε。

这说明在x0附近,f(x)和f(x-x0)的比值接近A。但是要得出f'(x0)=A,还需要知道:

1. f(x)在x0处可导,即limx->x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0)存在。

2. x0附近,f(x)和f(x0)+(x-x0)f'(x0)的增量比值也接近A。也就是说,limx->x0 (f(x)-f(x0))/((x-x0)f'(x0))=1。

只有当以上两个条件同时满足时,才能证明f'(x0)=A。

举个反例:

设f(x)=x^2,x0=0。则limx->0 f(x)/f(x-x0)=2,但是f'(0)=0≠2。

所以 limx->x0 f(x)/f(x-x0)=A只是必要条件,要结合可导性和增量比值的条件,才能得出f'(x0)=A。

希望解释清楚。如果还有疑问请继续提出。