问：
设a₁,a₂,.....,an为不全相等的整数，求证a₁/a₂......+an/a₁＞n
答：
证明:设a1,a2,.....,an为不全相等的整数,有a1/a2......+an/a1>n
证明步骤:
1. 因为a1,a2,.....,an为不全相等的整数,所以不存在ai=aj(i!=j)的情况。这意味着分母不会出现重复,导致分式的值为无穷大或没有定义。
2. 设a1是最大的数,an是最小的数。则有a1>a2>...>an。
3. 由于所有整数相除,商是小于等于除数的,有:
a1/a2<=a1,
a2/a3<=a2,
...
an-1/an<=an-1
4. 累加所有分式:
a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= a1 + a2 + ... + an-1 = (n-1)a1
(因为a1>a2>...>an-1)
5. 再加上an/a1,因为an是最小的,an/a1也是最大的:
a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an + an/a1
> (n-1)a1 + an/a1
= (n-1)a1 + a1 (因为an/a1<=a1)
= na1
6. 因为a1是最大的,有:na1 > n
∴ a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an + an/a1 > n
7. 由第6步得出结论:a1/a2......+an/a1>n
证毕。
所以,通过分析不全相等整数的大小关系,证明它们相除后的累加和必然大于这些整数的个数。这利用了除法运算结果的上界特点,较大数除以较小数,商不会超过较大数本身。将所有的分式累加,利用这个上界,可得出最终结果必大于整数的总个数n。
这就是对这个不等式的详细证明过程和逻辑思路。让我知道如果您有任何疑问或需要进一步解释的地方。