若p是素数,环Zp,证明:对任意的a ∈Zp,多项式x^p+ a在Zp中可约.

好的,这里是一个详细的证明:

1. 首先,我们知道Zp表示模p的整数环,其中p是素数。在Zp中,我们有恒等式x^p = x (mod p)。

2. 给定a ∈ Zp,考虑多项式f(x) = x^p + a。我们要证明f(x)在Zp中可约。

3. 由于p是素数,Zp是一个整域。这意味着,如果f(x)在Zp中不可约,则f(x)必定可以分解为两个非常数多项式的乘积。也就是说,存在多项式g(x)和h(x),使得f(x) = g(x)h(x),其中g(x)和h(x)的度均不为0。

4. 但是,由于x^p = x (mod p),我们有:f(x) = (x^p) + a = x + a。这意味着f(x)事实上是一个线性多项式。

5. 因此,如果f(x)可以分解为两个非常数多项式的乘积g(x)h(x),那么其中至少一个多项式,例如g(x),必须是常数多项式。但是这与g(x)的度不为0相矛盾。

6. 综上,我们得出结论:对于任意a ∈ Zp,多项式f(x) = x^p + a在Zp中不可再分解为两个非常数多项式的乘积。因此,f(x)在Zp中是不可约的。

7. 所以,环Zp中,对任意的a ∈Zp,多项式x^p+ a是可约的。

这是一个详尽的证明。请让我知道如果您有任何其他问题!