问：
求下列函数的极限
答：
1. 求 lim(x→+∞) (1+1/x)^x 的极限
详尽说明:
(1)当x趋近于正无穷大时,1/x趋近于0。
(2)所以(1+1/x)^x可以看作(1+o(1))^x,其中o(1)表示一个趋近于0的无穷小量。
(3)由指数函数的性质可知,当底数趋近于1时,指数函数的值趋近于正无穷大或0(根据指数的正负来判断)。
(4)因此,(1+o(1))^x的值也趋近于正无穷大。
(5)综上,lim(x→+∞) (1+1/x)^x = +∞
2. 求lim(x→0)(1+x/2)^(1/x)的极限
详尽说明:
(1)当x趋近于0时,x/2也趋近于0,所以(1+x/2)趋近于1。
(2)对(1+x/2)^(1/x)取logarithm,得到(1/x)*log(1+x/2),其中log(1+x/2)也趋近于0。
(3)所以(1+x/2)^(1/x)趋近于e的0次方,即1。
(4)综上,lim(x→0)(1+x/2)^(1/x)=1
3. 求lim(x→+∞)(1+e^(-x))/x的极限
详尽说明:
(1) 当x趋近于正无穷大时,e^(-x) 趋近于0。
(2) 因此(1+e^(-x))趋近于1。
(3) 而x本身也趋近于正无穷大,所以(1+e^(-x))/x的值趋近于0。
(4) 综上,lim(x→+∞)(1+e^(-x))/x = 0