任取一个自然数 n，求C(7 n)能够被 12 整除的概率.

解答:

1. C(7n) 表示7个元素里取n个元素的组合数,由公式 C(7n) = 7!/ (n! * (7-n)!) 计算得出。

2. 要使 C(7n) 能被 12 整除,必须满足两条件:

   (1) 7! 必须包含3的倍数个因子,否则7!含有7这个质数因子,不可能被12整除;

   (2) n! * (7-n)! 中3的倍数个因子的个数,必须与7!中3的倍数个因子的个数相同或更少。否则,C(7n) 不会被12整除。

3. 条件(1)可以由7! = 5040 = 3^4 * 5^2 得知满足。

4. 条件(2)分析:

    1) 如果n的因子仅包含2,那么n!必定能被12整除,不影响C(7n)被12整除的可能性。任取n满足此条件的概率是P(n为偶数) = 0.5

    2) 如果n的因子包含3的倍数,那么同样n!必定能被12整除,不影响C(7n)被12整除的可能性。 n的取值共6种(3,6,9,12,15,18),所以该情况发生的概率是6/17。

    3) 如果n的因子既不包含2也不包含3的倍数,那么n!很有可能不能被12整除,从而导致C(7n)不能被12整除。 n的取值只有1种(1),概率是1/17。

5. 综上,C(7n)被12整除的概率为:

       P(n为偶数) + P(n的因子包含3的倍数) = 0.5 + 6/17 = 0.5294 = 53%

因此,任取一个自然数n,C(7n)能被12整除的概率约为53%。