复合函数为什么内层函数的周期就是整个函数的周期

复合函数是指函数作用在另一个函数上的函数,即f(g(x))。在复合函数中,内层函数g(x)的周期就是整个复合函数f(g(x))的周期,原因有:

1.根据函数的周期性定义,一个函数的周期是其自变量变化一周期后,函数值再次重复的区间。所以内层函数g(x)的周期决定了自变量x的值的变化周期,而f(x)函数作用于这个自变量的变化,其函数值的变化周期必定跟随g(x)的周期。

2.举例说明,设f(x)=2x,g(x)=sin(x),则复合函数f(g(x))=2sin(x)。这里内层函数g(x)=sin(x)的周期是2π,则f(g(x))的周期也是2π,因为每当x变化2π,sin(x)会重复,这时2sin(x)也会重复。

3.如果内层函数g(x)没有周期,则整个复合函数也没有周期。例如f(x)=2x,g(x)=ln(x),则f(g(x))=2ln(x)没有周期。

4.但是外层函数f(x)的周期性并不决定复合函数的周期性。例如f(x)=2x(周期为π)和g(x)=sin(x)(周期为2π),则f(g(x))=2sin(x)的周期是g(x)的周期2π,而不是f(x)的周期π。

5.复合函数的周期是其内层函数的最小公倍数周期。例如f(x)=2x,g(x)=3sin(x),则f(g(x))=2(3sin(x))的周期是2π×3=6π,是g(x)周期2π的3倍。

综上,复合函数获得内层函数的周期性,其周期约束于内层函数的周期。外层函数的周期性不决定复合函数的周期。如有不明白的地方,欢迎再提问。