问：
椭圆与相交直线的弦长问题
答：
椭圆与相交直线的交点所确定的弦,其长度公式为:
弦长=2*√(a2*sin2θ + b2*cos2θ)
其中,a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴,θ 是相交直线与椭圆的长轴之间的夹角。
这个公式的理论依据是:
1. 椭圆的方程为:(x/a)2 + (y/b)2 = 1。设交点为(x1, y1)和(x2, y2),则有(x1/a)2 + (y1/b)2 = 1 和 (x2/a)2 + (y2/b)2 = 1。
2. 相交直线的方程为:y = kx + b,其中k是斜率。由此可得:x1 = (a2/b2) * (y1/k + b/k), x2 = (a2/b2) * (y2/k + b/k)。
3. 弦长公式为:L = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2。代入x1, x2, y1, y2的值,并利用三角函数的关系,可以推导出最终的公式。
详细推导过程如下:
因为(x1, y1),(x2, y2)均满足椭圆方程,所以:
x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1 (1)
x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1 (2)
因为(x1, y1),(x2, y2)都在直线上,所以:
y1 = kx1 + b (3)
y2 = kx2 + b (4)
从(1)(3)substitute x1,得:
(a^2/b^2*(y1/k + b/k))^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1
y1 = (b/k)sqrt(a^2*k^2/(a^2*k^2 + b^2))
从(2)(4)substitute x2,得:
x2 = (a^2/b^2*(y2/k + b/k))
y2 = y1
代入弦长公式L = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2,并用三角函数关系sinθ=k,cosθ=b/a,最终得:
L = 2*sqrt(a^2*sin^2θ + b^2*cos^2θ)