在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别求出∠A和∠D

给定条件:在锐角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分∠ACB。

要求:分别求出∠A和∠D。

解:

1. 因为BD三等分∠ABC,所以∠ABD = ∠CBD = ∠ABC/3。同理,因为BE三等分∠ABC,所以∠ABE = ∠CBE = ∠ABC/3。

2. 因为∠ABD + ∠ABE + ∠BAE = ∠ABC,而∠ABD = ∠ABE = ∠ABC/3,所以∠BAE = ∠ABC - 2∠ABC/3 = ∠ABC/3。

3. 因为CD三等分∠ACB,所以∠ACD = ∠BCD = ∠ACB/3。同理,因为CE三等分∠ACB,所以∠ACE = ∠BCE = ∠ACB/3。

4. 因为∠ACD + ∠ACE + ∠CAE = ∠ACB,而∠ACD = ∠ACE = ∠ACB/3,所以∠CAE = ∠ACB - 2∠ACB/3 = ∠ACB/3。

5. 由上知:∠BAE = ∠ABC/3,∠CAE = ∠ACB/3。因为∠BAE和∠CAE是避开BC的外角,且在同一边∠ABC/ACB的内侧,所以它们对应角∠ADB和∠ADC相等。

6. 因为∠ADB = ∠BAE = ∠ABC/3,所以∠A = 180° - ∠ADB - ∠DBC = 180° - ∠ABC/3 - ∠ABC = 2∠ABC/3。

同理,因为∠ADC = ∠CAE = ∠ACB/3,所以∠D = 180° - ∠ADC - ∠DCB = 180° - ∠ACB/3 - ∠ACB = 2∠ACB/3。

综上,在该锐角△ABC中,∠A = 2∠ABC/3,∠D = 2∠ACB/3。

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