函数f(x)=1/(1-x),x∈(1,2)能不能展开成x的幂级数？

对于函数f(x)=1/(1-x),x∈(1,2),它不能展开成x的幂级数。原因如下:

1. 幂级数是指函数可以表示为x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n + ...的形式,由x的整数幂次项之和构成。

2. 函数f(x)=1/(1-x)是一个有理函数,其形式不是幂次项的和,所以不能写成幂级数的形式。

3. 1/1-x会产生一个极限周期性的 Item,不具有幂级数 以0开始的monotone递增的特性。

4. f(x)在区间(1,2)上并非连续的,在x=1处有一个跳跃的分断点,产生不连续的阶跃现象。而幂级数在定义区间内一般是连续可导的。

5. 如果forces 将1/1-x展开,其前几项会如下:

   1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ......

   这只是形式上像一个幂级数,但并不是真正意义上的幂级数, 因为:

   (1)x^2,x^3这些高order项的系数不是定值,随x变化而变化

   (2)展开后收敛区间只局限在|x|<1,超出该区间就不收敛,而幂级数的收敛区间应该是自变量的整个定义域。

所以,综上,函数f(x)=1/(1-x)不满足构成幂级数的条件,因此不能将其展开成x的幂级数。幂级数的形式仅是表象,重要的是要具备幂级数应该具有的内在属性,如连续可导、定系数、收敛区间是整个定义域等,这些都是1/1-x所不具备的。

希望上述解释能详尽阐明为什么f(x)=1/(1-x)不能展开成幂级数。如还有不清楚的地方,请继续提出。