求解微分方程 y’’+x^2*y+xy=0

这是一个二阶微分方程,我们可以用特征方程的方法来求解。

该微分方程可以写成:

y'' + P(x)y + Q(x)y' + R(x) = 0

其中,P(x) = x^2, Q(x) = x, R(x) = 0

对应的特征方程为:

r^2 + P(x)r + Q(x) = 0

解得两个特征根:

r1 = -x 

r2 = -1

则解为:

y = C1e^-x + C2e^-1

根据初始条件,我们可以确定C1和C2的值,从而得出完整解。

例如,如果初始条件为:

y(0) = 1, y'(0) = 0

则:

1 = C1 + C2   (1)

0 = -C1*0 + -C2   (2)

从(1)(2)可解得:

C1 = 1, C2 = 0

所以,此微分方程y'' + x^2*y + xy=0的解为:

y = e^-x

说明:

1) 我们用特征方程求得两个特征根后,根据e^特征根来构造解

2) 根据微分方程的初始条件(或边界条件)来确定常数C1和C2,得到完整解

3) 该微分方程是一阶线性齐次微分方程,所以解为e^(特征根)的形式

4) 解的过程比较详尽,希望能帮助到您理解和掌握求解微分方程的方法。请让我知道如果还有任何疑问。