计算对坐标的曲面积分I=∫∫∑（2一y²)dxdz,其中Σ是半球面y＝√(1-x²-y²)被三个坐标

这个积分计算半球面y=sqrt(1-x^2-z^2)上的曲面积分。

首先,我们在半球面上取一小面积dS,它的表面积可以近似表示为:

dS=f(x,y,z) dxdydz

其中f(x,y,z)是半球面在(x,y,z)点的法向量。由于半球面在(x,y,z)点的法向量方向为[x,y,z],所以f(x,y,z)=1。

因此,dS=dxdydz

接着,我们需要表达dS中的dy。由于半球面上的方程为:y=sqrt(1-x^2-z^2),那么dy=(-x/y dx - z/y dz) / (1-x^2-z^2)^(1/2)

代入dS=dxdydz,得到:

dS = dx * (-x/y dx - z/y dz) / (1-x^2-z^2)^(1/2) * dz 

= -x dx dz /(1-x^2-z^2)^(1/2) - z dx dz/(1-x^2-z^2)^(1/2)

最后,我们需要在半球面上积分,积分的范围为:

-1<=x<=1,   -1<=z<=1

根据上述区域和曲面微元dS,可以得到积分的表达式:

I=∫∫Σ(-x dx dz /(1-x^2-z^2)^(1/2) - z dx dz/(1-x^2-z^2)^(1/2)) dxdz   

= -∫∫[-1,1][-1,1] x/(1-x^2-z^2)^(1/2) dx dz - ∫∫[-1,1][-1,1]z/(1-x^2-z^2)^(1/2) dx dz

= 2π  (半球面积)

所以,最终结果为:I=2π