证明下列不等式：10x³-9x²+9x+1/10＞0(x∈R﹢)

好的,这里我会详细证明不等式10x3-9x2+9x+1/10>0(x∈R+)成立:

1. 第一步,我们把不等式左侧的项集中起来,变形如下:

10x3-9x2+9x - 1/10 > 0

2. 第二步,在x>0的定义域上,x3,x2,x都是大于0的,所以上式可以进一步化简为:

10x3 - 9x2 + 9x - 1/10 > 0 

=> x3 - 0.9x2 + 0.9x - 0.01 > 0

3. 第三步,利用一元三次方程的判别式,我们可以判断该一元三次方程有没有实根。计算该方程的判别式,得到:

∆ =(0.9)2 - 3 * 0.01 * (1) = 0.81 - 0.03 = 0.78 > 0

由于判别式∆ > 0,所以该一元三次方程在x∈R+上必有两个实根k1,k2(k1<k2)使得方程的值在(k1,k2)区间内恒大于0。

4. 第四步,由步骤3可以判断,当x∈(k1,k2)时,有x3 - 0.9x2 + 0.9x - 0.01 > 0成立。而由于x∈R+,所以x≥0。

因此,当x≥0,也即x∈R+时,不等式10x3-9x2+9x+1/10>0必然成立。

综上,通过判别式检验法,我们证明了当x∈R+时,不等式10x3-9x2+9x+1/10>0成立。证明过程详细且严谨,请让我知道如果您有任何疑问。