问：
函数f（x）=2sin^2(x+π/4）+√3cos2x怎么化简
答：
这个函数可以这样化简:
f(x)=2sin^2(x+π/4)+√3cos2x
= 2[sin(x+π/4)]^2 + √3[cos(2x)]^2 (根据角度和的公式 Expand 开)
= 2sin(x+π/4)sin(x+π/4) + 3cos(2x)cos(2x) (根据sin^2θ和cos^2θ的等价公式)
= 2sin(x+π/4)sin(x+π/4) + √3[2cos^2(x) - 1] (根据2cosθ的公示求出cos2θ的表达式)
= 2sin(x)sin(π/4)cos(π/4) + √3(2cos^2(x) - 1) (将 sin(x+π/4) 和 sin(π/4)cos(π/4) 展开)
= 2sin(x) + √3(2cos^2(x) - 1) (因为sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2)
= √2sin(x) + √3(2cos^2(x) - 1) (将所有的2移到外面)
所以,f(x)最终可以化简为:
f(x) = √2sin(x) + √3(2cos^2(x) - 1)
这个式子是通过不断使用三角函数的Basic公式,将最初的表达式factor化并进行化简从而得到的最简形式。主要用到的三角函数公式有:
sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
sin^2θ = (sinθ)^2
cos^2θ = (cosθ)^2 = 2cos^2θ - 1
sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2
利用这些基本公式和代数运算,最终得到一个较简洁的表达式来表示最初的复杂三角函数。这是数学中常用的化简手法,对理解复杂函数和表达式非常有帮助。