设X~N(μ, σ^2),Y~B(1,p),且随机变量X，Y相互独立，求XY的分布？

给定:X~N(μ, σ^2)  Y~B(1,p) ,且X,Y相互独立。

求:XY的分布

解:

1. X~N(μ, σ^2)表示X服从平均为μ,方差为σ^2的正态分布。

2. Y~B(1,p)表示Y服从伯努利分布,取值为1的概率为p,取值为0的概率为1-p。

3. 由于X和Y相互独立,XY的分布是X和Y的卷积分布。计算卷积分布需要查找X和Y的联合概率分布,然后对所有X和Y的值的组合求和。

4. X的概率密度函数为: f(x)= (1/sqrt(2πσ^2)) * e^(-0.5*(x-μ)^2/σ^2)

Y的概率质量函数为: P(Y=1)=p; P(Y=0)=1-p

X和Y的联合分布为: P(X=x, Y=1)=f(x)*p; P(X=x, Y=0)=f(x)*(1-p)

5. XY的分布为:

                                 XY=0     的概率为: P(Y=0)=1-p 

                                 XY=μ*0   的概率为: P(X=μ, Y=0)=f(μ)*(1-p)

                                 XY=μ*1   的概率为: P(X=μ, Y=1)=f(μ)*p

                                 XY=x*1   的概率为: P(X=x, Y=1)=f(x)*p   (x!=μ)

                                 综上,XY的概率质量函数为:

                                       P(XY=0)=1-p

                                       P(XY=μ*0)=f(μ)*(1-p)

                                       P(XY=μ)=f(μ)*p 

                                       P(XY=x)=f(x)*p   (x!=μ)

XY的分布由此得到,它是一个有离散量μ*1和μ*0的连续分布,且该连续分布的范围由X的分布决定。