设随机变量X~U[0,π],求E(x),E(X²)

随机变量X服从均匀分布U[0,π],表示X可以取0到π之间的任意值,且各个值被选中的概率都是相同的。

对于这样的随机变量X,其期望计算如下:

1. E(X) = ∫abxf(x)dx (a和b是X的上下限)

因为X~U[0,π],所以a=0,b=π,f(x) = 1/(b-a) = 1/π。代入上式得到:

E(X) = ∫01πxf(x)dx = (1/π) * ∫01πxdx = (1/π)*π*(x)10 = (π/π) = 1

所以,E(X) = 1

2. E(X2) = ∫abx2f(x)dx

同样地,a=0,b=π,f(x) = 1/π。代入上式得到:

E(X2) = ∫01πx2f(x)dx = (1/π) * ∫01πx2dx

= (1/π)*π*(x2/2)10 = (π2/2π) = π2/2

所以,E(X2) = π2/2

因此,对于随机变量X~U[0,π]:

E(X) = 1

E(X2) = π2/2

由E(X)和E(X2)可以计算出X的方差:

Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = π2/2 - 1 = π2/4

随机变量的期望和方差是描述其分布的两个很重要的参数。计算期望和方差的公式对任意连续型随机变量都适用。