求积分∫|z|=r>0Z^2020×sinhz×cos^9zdz

Okay,让我们来详细分析这个积分:

∫|z|=r>0Z^2020×sinhz×cos^9zdz

这是一个闭曲线积分,积分路径为|z|=r>0,也就是一个半径为r的圆周,r为大于0的常数。

被积函数为:Z^2020×sinhz×cos^9z

这里将三角函数sinhz和cosz展开得到:

sinhz = (e^z - e^-z)/2

cosz = (e^iz + e^-iz)/2

将它们代入被积函数并整理得:

∫|z|=r>0Z^2020×sinhz×cos^9zdz

= ∫|z|=r>0Z^2020×(e^z - e^-z)×(e^9iz + e^-9iz)/2^10dz

将参数Z和复指数展开,并将cos部分展开,整理得:

= (1/1024)∫|z|=r>0(z^2020 - z^2018 + ... - z^2020)×(e^10iz - e^8iz + ... + e^-10iz)dz

可以看出,只有当指数和2020同余时,才会有非零项。

所以该积分的闭式解为:

(1/1024)×2πri×2020 = (πr^2021)/512 

其中i是虚数单位。