问：
积分第一中值定理的证明是什么？
答：
好的,积分第一中值定理的证明过程如下:
设连续函数f(x)在闭区间[a,b]上取值,根据罗尔中值定理,在这个闭区间内至少存在一个点ξ,使得:
f(ξ) = f(b) - f(a) / b - a
其中 a ≤ ξ ≤ b。
因为f(x)在[a,b]上连续,根据积分的定义,有:
∫ab f(x)dx = f(ξ)(b - a)
其中,ξ满足a ≤ ξ ≤ b。
将上面两个式子结合可得:
∫ab f(x)dx = [f(b) - f(a)]/(b - a)
这就证明了积分第一中值定理:
在函数f(x)在闭区间[a,b]上连续时,必存在ξ∈[a,b],使得∫ab f(x)dx = f(ξ)(b - a)成立。
这就构成了积分第一中值定理的证明过程。可以看出,该定理建立在连续函数的中值定理基础之上,通过将积分看作是连续函数的值,从而得出了积分函数的中值定理。