计算二重积分时，为什么要注意对称性和奇偶性？

计算二重积分时注意对称性和奇偶性的主要原因如下:

1. 注意对称性可以简化计算过程,降低计算难度。很多二重积分具有对称性,通过观察和利用这一特点,可以将计算域缩小一半,简化求积过程。

2. 奇偶性也可以帮助简化计算。如果积分函数f(x,y)具有奇函数或偶函数的特点,可以利用这一性质来消去积分过程中的某些项。

3. 对称性和奇偶性还可以帮助判断积分是否收敛,或者某些积分值为0。例如奇函数关于y=x的对称积分就是0。

4. 观察对称性可以判断极坐标变换是否可行。若存在对称性,极坐标变换往往能够降低计算难度。

5. 二重积分中存在对称性或奇偶性,说明积分中存在某些内在的特定规律,这也有助于从整体上把握积分的本质特点。

6. 对称性和奇偶性是二重积分的重要属性,正确把握有助于改进计算思路,建立积分直觉,培养数学意识,提高计算和应用能力。

所以在计算二重积分时,充分利用对称性和奇偶性可以大大简化过程,是一种很有效的方法。这需要通过大量练习进行培养。