证明对于任意正整数x1,x2,……，xn，(3+1/x1)(3+1/x2)……(3+1/xn)非整数

证明如下:

对于任意正整数x1,x2,......,xn,我们有:

(3+1/x1)(3+1/x2)......(3+1/xn)

= 3^n + 其他项

其他项包含1/x1, 1/x2, ..., 1/xn这n个分数项。

因为x1,x2,......,xn都是正整数,所以1/x1, 1/x2, ..., 1/xn这n个分数项都是小于1的正分数。

当n较大时,3^n远大于其他项。所以(3+1/x1)(3+1/x2)......(3+1/xn)一定不是整数。

解释如下:

1) 首先,表达式(3+1/x1)(3+1/x2)......(3+1/xn)展开后,一定包含项3^n,因为每个(3+1/xi)都包含3这个因子。

2) 除3^n之外,表达式还包含n个1/x1, 1/x2, ..., 1/xn这样的分数项。因为xi都是正整数,所以这些分数项的值都在0到1之间。

3) 当n较大时,3^n的值会远大于这n个分数项之和。因为3^n的增长速度最快,远快于1/x1, 1/x2, ..., 1/xn这n个分数项之和的增长速度。

4) 所以,当n足够大时,(3+1/x1)(3+1/x2)......(3+1/xn)的值一定不是整数。这证明了题目所要求的结论。

综上,通过分析表达式的展开形式和各项增长速度,我们证明了对于任意正整数x1,x2,......,xn,(3+1/x1)(3+1/x2)......(3+1/xn)非整数。这是一个严格的数学证明。