问：
若 a²+b²=c²。求：通解。即 a(m,n), b(m,n), c(m,n)。1个特解是：a=3, b=4, c=5。
答：
这是一个二次方程组: a2 + b2 = c2
根据问题描述,已知一个特解是:a = 3, b = 4, c = 5。
所以通解应满足:
a = a0 + km
b = b0 + kn
c = c0
其中a0, b0, c0是特解,k为任意参数,m和n满足:
m2 + n2 = 0
所以通解为:
a = 3 + km
b = 4 + kn
c = 5
其中 k 为任意实数,m 和 n 满足 m2 + n2 = 0。
这是一个超定方程组,解不是唯一的。我们可以取:
m = 2, n = -1 或 m = -1, n = 2
两组值都满足m2 + n2 = 0。
代入上述通解公式,可得:
1)当m = 2, n = -1时:
a = 3 + 2k
b = 4 - k
c = 5
2)当m = -1, n = 2时:
a = 3 - k
b = 4 + 2k
c = 5
所以,超定方程a2+b2=c2的通解为:
a = 3 + 2k 或 3 - k
b = 4 - k 或4 + 2k
c = 5
k为任意实数。
这就是二次方程a2+b2=c2的通解。通解给出了所有满足该方程的a, b, c的值,其中包含无限多个解。而特解a = 3, b = 4, c = 5只是通解中的一个具体解。