问：
xy’’＋(y’)^2＝1，过(0，1)，且在此点导数为-1，求此方程，求用可降解微分方程方法写
答：
这是一道微分方程问题。根据题意,我们需要解的微分方程satisfy以下条件:
1. 过点(0,1),即当x=0时,y=1。
2. 在(0,1)点处的斜率为-1,即当x=0时,y’=-1。
3. 微分方程形式为:y’’+(y’)^2=1。
根据可降解因子方法,我们可以将原方程变形为:
y'' + (y')^2 = 1
令u=y',则y'=u',代入方程得到:
u”-(u')^2=0
这是一元二次可降解微分方程。令v=u'可降解为:
v’=0
得到:u=c=常数。再代回u=y'和y'=u'得到:
y’=c=常数
y=cx+d
根据初值条件y(0)=1和y'(0)=-1,可以解出c=-1,d=1。
所以原微分方程的解为:
y=-x+1
对初值(0,1)而言,x=0,代入y=-x+1,得到y=1,满足初值条件。
在(0,1)点斜率为y'=-(-1)=-1,也满足题意要求。
所以原微分方程xy’’+(y’)^2=1在(0,1)点的解为y=-x+1。用可降解因子法得到解的全过程如上所示。