设随机变量X 与 Y独立同分布，且都服从N(0,6) ，则 Z=X/Y的绝对值服从

给定:随机变量X与Y独立同分布,且都服从正态分布N(0,6)。

要求:求随机变量Z=X/Y的绝对值的分布。

解:

1. 由于X与Y独立同分布,且均服从N(0,6)正态分布,则X和Y的联合概率密度函数为:

f(x,y) = (1/2π6^2)exp(-1/2(x^2+y^2 )/36)    (1)

2. 由Z=X/Y,可得X=ZY,则X和Y关于Z的联合概率密度函数为:

f(z,y) = f(zy,y) = (1/2π6^2)exp(-1/2(z^2y^2)/36)(dy/dz)         (2)

3. 由此可得Y关于Z的条件概率密度为:

f(y|z) = (1/√(1+z^2))exp(-1/2(y^2)/6) / (1/√(2π))            (3)

4. 由全概率定理,有:

f(z) = ∫{f(z,y)f(y|z)}dy = ∫(1/√(1+z^2))exp(-1/2(y^2)/6) dy

                       = √(1/√(2π)) = 1  (4)

由此可知,Z的概率密度恒为1,故Z服从笛卡儿分布。

因Z=X/Y,取Z的绝对值|Z|,则|Z|也服从笛卡儿分布。

综上,随机变量Z=X/Y的绝对值|Z|服从笛卡儿分布。