1/(sinx+ cosx)的不定积分

1/(sinx + cosx) 的不定积分可以使用分数分解的方法求解:

1/(sinx + cosx) = 1/(sqrt(2)*(sin(x+pi/4)))

                  = 1/sqrt(2) * (cos(x+pi/4))/(sin(x+pi/4)*cos(x+pi/4))

可知分母和分子分别为正弦函数和余弦函数的乘积,所以可以使用分数分解的方法:

设I为不定积分,则:

I = ∫(1/(sinx + cosx))dx

   = (1/√2) * ∫(cos(x+π/4)/sin(x+π/4))dx

   = (1/√2) * ∫(1/tan(x+π/4))dx

为了简化,可以将x+π/4换成u,则:  

du = dx

则积分变成:

I = (1/√2) * ∫du

   = (1/√2) * u + C 

   = (1/√2) * (x+ π/4) + C

所以1/(sinx + cosx) 的不定积分的结果为:

(1/√2) * (x + π/4) + C

其中C 为积分常数。

主要思路就是使用分数分解将分子分母都分解为正弦余弦函数的乘积,然后使用arcsin和arccos进行换元积分求积分。希望以上解释能为您提供帮助!