二重积分的对称性是什么意思？

二重积分的对称性意味着,将積分順序互換,積分值不變。

具體來說,如果一個二重積分可以表示為:

$$\int_{a}^{b}\int_{c(\color{red}{x})}^{d(\color{red}{x})}f(\color{red}{x},y)dydx$$

就是先積分y的變量,然後積分x的變量。

則對稱性成立的話,將兩個變量的積分順序顛倒,得:

$$\int_{c}^{d}\int_{a}^{b(\color{red}{y})}f(\color{blue}{y}, \color{red}{x})dxdy$$

第一個矩形積分變成積分y變量,第二個矩形積分變成積分x變量。

兩個二重積分的值應該是相等的。

這就是二重積分的對稱性,即積分順序 interchangeable,但積分值不變。

這個性質可以幫助我們簡化計算,選擇更方便的積分順序。

希望以上解釋能表達清楚二重積分的對稱性含義。如果仍然有疑問,歡迎提出,我會嘗試更完整地回答。