如何在极坐标下求二重积分？

在极坐标下求二重积分,主要分以下几步:

1. 将笛卡尔坐标下的积分范围转换为极坐标下的范围。例如,一个矩形区域在极坐标下变为一个扇形区域。需要确定极角θ的范围和半径r的范围。

2. 将被积函数从笛卡尔坐标转换为极坐标。例如,如果原函数是f(x, y),则极坐标下的函数为f(r, θ)。转换公式为x = r cosθ, y = r sinθ。

3. 极坐标下的微元面积元素转换为rdθdr。因此,二重积分的积分范围变为∫∫r dθ dr。

4. 带入被积函数f(r, θ)和微元面积rdθdr,得到极坐标下的二重积分∫∫f(r,θ)rdθdr。

5. 进行积分运算。先对θ积分,再对r积分。积分时要考虑极坐标下的θ和r的范围。

举例来说,求∫∫_D xy dA,其中D为第一象限内的 unit circle。

解:

1) 极角θ的范围是0到π/2,半径r的范围是0到1。

2) x = r cosθ, y = r sinθ。所以,f(r, θ) = r cosθ * r sinθ = r^2 sinθ cosθ

3) 微元面积rdθdr

4) ∫∫_D xy dA = ∫∫_D f(r,θ)rdθdr = ∫∫_0^π/2^0^1 r^2 sinθ cosθ r dr dθ

5) 先θ积分:∫_0^π/2 sinθ cosθ dθ = (1/2)sin2θ|0^π/2 = 1/2

然后r积分:∫_0^1 r^2 dr = 1/3

所以,∫∫_D xy dA = (1/2) * (1/3) = 1/6