问:

判断二元函数连续性的方法

答:
判断二元函数f(x,y)的连续性,可以采用以下几种方法:
1. 直接检查定义域上的限制条件。如果f(x,y)在定义域的每个点上都有定义,且定义域是一个开集,则f(x,y)是连续的。
2. 檢查x固定时,y的连续性;以及y固定时,x的连续性。如果x固定时,f随y连续变化;且y固定时,f随x连续变化,则f(x,y)是连续的。
3. 檢查一致连续性。如果对任意的ε>0,都存在δ>0,使得当|(x,y) - (x0,y0)| < δ时,都有|f(x,y) - f(x0,y0)| < ε成立,则f(x,y)在(x0,y0)点上一致连续,并且f(x,y)是连续的。
4. 檢查极限的存在性。如果对任意的(x0,y0)在定义域内,极限lim_(x,y)→(x0,y0)f(x,y)存在,且等于f(x0,y0),则f(x,y)在(x0,y0)点连续。
5. 檢查左极限lim_(x,y)→(x0,y0)- f(x,y)和右极限lim_(x,y)→(x0,y0)+ f(x,y)的存在性及相等。如果左右极限存在且相等,则f(x,y)在(x0,y0)点连续。
以上是判断二元函数连续性的主要方法。通过定义域的开闭性、x固定/y固定时的连续性、一致连续性、极限存在性等多重条件共同判断,可以保证判定结果的准确性。