计算函数f(x,y,z) =xyz+z^2+5在点(0，1，-1)处的梯度,并计算在怎样的方向上？

函数f(x,y,z) =xyz+z^2+5 在点(0,1,-1)处的梯度可以这样计算:

1. 计算函数f对x,y,z的偏导数:

f_x = yz

f_y = xz

f_z = 2z + y + x

2. 将(0,1,-1)代入偏导数函数,得到梯度向量:

f_x(0,1,-1) = 1*-1 = -1

f_y(0,1,-1) = 0*1 = 0

f_z(0,1,-1) = 2*(-1) + 1 + 0 = -3

所以,函数f在点(0,1,-1)处的梯度向量为(-1,0,-3)

3. 梯度向量的方向指向函数f在该点增加最快的方向。所以,(-1,0,-3)表示函数f在点(0,1,-1)沿负x方向和负z方向增加最快。

梯度的几何意义是,通过点(0,1,-1)作(-1,0,-3)方向的切线,则切线的斜率就是函数f在该点的增长率。

梯度指向函数增长最快的方向,因此运动方向应与梯度方向相同来最快增加函数值。

所以,在(0,1,-1)点的最佳运动方向为负x方向和负z方向,以达到最快增加函数f的值。

希望这个解释能够帮助您理解函数的梯度及其意义。如果还有不理解的地方,欢迎提出问题。