怎么判断多项式是否可约

判断一个多项式是否可约,需要进行以下检查:

1. 检查多项式是否有重复因子。如果有重复因子,则可直接约去。例如:x^3 - 3x^2 + 3x - 9 = (x - 3)^2(x + 1),有重复因子(x - 3),所以可约。

2. 检查多项式的每一项是否有公约数。如果有,则也可约。例如:x^3 + 6x^2 + 9x + 18 = 3(x^3 + 2x^2 + 3x + 6),每一项的公约数是3,所以可约。

3. 计算多项式的内容式。内容式等于0,则不可约;内容式不等于0,则继续下一步。内容式的计算公式为:C(f) = a_n^2 + a_(n-1)^2 + ... + a_1^2 - (n+1)a_na_(n-1) + n(n-1)a_(n-2)^2 - ...

  其中a_i表示多项式的第i项系数。

4. Trial Division:试除法。将多项式的每一项系数试除所有不大于其平方根的素数,如果有一个素数可以整除所有项的系数,则此多项式可约。例如:x^4 + 8x^3 + 21x^2 + 18x + 9,试除3可以整除每个系数,所以可约。

5. 研究xi对多项式的影响。如果xi可以整除多项式的每一项,则xi是其因子,可进行因子分解。否则,可以考虑用此xi除以多项式,得到的商再进行可约性判断。

综上,判断一个多项式可约性需要从多方面检查,逐步分解最简。需要熟练掌握内容式的计算和试除法,在实践中不断总结的过程。