勾股定理逆定理的证明方法

勾股定理的逆定理是:如果一个三角形的两直角边之和等于斜边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

证明方法如下:

1. 设直角三角形ABC的直角在A,直角边a和b,斜边c。根据勾股定理,有a^2+b^2=c^2。

2. 现有一个三角形PQR,其中QR=p,RP=q,PQ=r。已知p+q=r^2。我们要证明PQR必为直角三角形。

3. 根据三角形的面积公式,PQR的面积为S=pq/2=rp/2。

4. 连接PR,由于PQR是三角形,所以PR<r。设PR=x,则x<r。

5. 由于p+q=r^2,可得:

pq=(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=(r^2)-(r-x)(r-x)=r^2-2rx+x^2

6. 因此有:x^2-2rx+(r^2-pq)=0      (1)

7. 这是一元二次方程,根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a,带入(1)可得:

x^2-2rx+(r^2-p^2-q^2)=0

x1,2 = (r ± √(r^2 - p^2 - q^2)) / 2       (2)

8. 由于p+q=r^2,所以(r^2 - p^2 - q^2) = (p - q)^2 ≥ 0

所以方程(2)的解x1与x2必然存在,且必有一个解位于(0, r)之间。

9. 因此PR的中点必定在PQ上,由此PQR必为直角三角形。

综上,我们利用勾股定理推导出如果p+q=r^2,则该三角形必为直角三角形,从而证明了勾股定理的逆定理。