处处绝对收敛的例子？

处处绝对收敛的例子有:

1. 连续函数列。如果{fn}是一列连续函数,定义在闭区间[a,b]上,且函数值互相趋近,即对任意的ε>0,存在N,使得当n,m>N时,都有|fn(x)-fm(x)|<ε,则该函数列在[a,b]上处处绝对收敛。这是因为连续函数具有微分平均值定理,可以控制函数值的变化,保证函数值的差 趋近0。

2. 一致收敛的幂级数。如果{an}是一数列,使得∑|an|<+∞,则级数∑an在其收敛区间内处处绝对收敛。这是因为如果级数在某点绝对收敛,则在这个点周围的小区间内也绝对收敛,通过这种局部的性质可以推广到整个收敛区间,从而实现处处绝对收敛。

3. 一致收敛的正项级数。如果{an}是非负数列,且级数∑an的各项积分收敛,则该级数在其收敛区间内处处绝对收敛。这是利用了一致收敛性和正项级数的局部到整体的推广性质。

4. 连续函数的幂级数。如果{fn}是一列连续函数,它们的线性组合的幂级数∑ancn在其收敛区间内处处绝对收敛。同样利用了连续函数的性质和局部到整体的推广论证。

结论:处处绝对收敛的例子主要利用函数或级数的 “局部到整体”的性质,通过证明在某个小区间内绝对收敛,然后扩展到整个区间,达到处处绝对收敛的目的。一致性和连续性也是实现这一推广的重要条件。