如何理解“可导的函数一定连续”这句话？

“可导的函数一定连续”这句话的意思是:如果一个函数在某点可导,那么这个函数在这个点必定连续。

这是因为,一个函数在某点可导,意味着在这个点的微分存在。微分的几何意义是该点的切线的斜率。有切线的斜率,意味着函数在这个点的左右两边的值可以通过切线连成一条光滑的曲线。这就意味着函数在这个点连续。

举个例子说明:

设函数f(x) = {x^2, x<=1 ; 2-x, x>1}

这个函数在x=1点不可导,因为左右两边的切线斜率不同,不能连成一条光滑曲线。而当x<1或x>1时,函数可导,切线斜率存在,函数连续。

反之,如果一个函数在某点连续,不一定可导。连续只要求函数的左右极限存在且相等,但可导还需要求出切线,且切线斜率存在。

所以,总结来说:

1. 可导 -> 一定连续。因为有切线和切线斜率,可以连成光滑曲线,所以连续

2. 连续 -> 不一定可导。仅有左右极限相等还不足以求出切线和切线斜率

3. 不连续 -> 一定不可导。因为无法连成光滑曲线,所以没有切线和切线斜率

这个结论在数学分析中很重要,希望通过这个解释可以帮助你理解“可导的函数一定连续”这句话。如果还有不明白的地方,可以继续提问。