设函数y=x³(x-4) 求单调区间与极值 凹凸区间与拐点

对于函数y=x3(x-4),我们可以进行以下分析:

1. 单调区间:

 derivative是 y' = 3x2(x-4) + x3。当x≥4时,y' > 0,所以x≥4时函数单调递增;当x < 4时,y' < 0,所以x < 4时函数单调递减。所以单调区间为(-∞,4]和[4,+∞)。

2. 极值:

当x = 4时,y' = 0, 所以x = 4是函数的拐点。此时函数值y = 4^3(4-4) = 0。因此函数的极小值是(4,0),极大值没有。

3. 凹凸区间:

当x < 4时,y'' = 6x(x-4) + 3x2 > 0,所以x < 4时函数是凹函数;

当x > 4时,y'' = 6x(x-4) + 3x2 < 0,所以x > 4时函数是凸函数。

所以凹区间是(-∞,4),凸区间是(4,+∞)。

4. 拐点:

由上述分析可知,函数只有一个拐点(4,0)。在这个拐点处,函数的凹凸性发生改变。

综上,我们可以归纳出该函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点情况:

单调递减区间:(-∞,4]

单调递增区间:[4,+∞)

极小值:(4,0) 

极大值:无

凹区间:(-∞,4)

凸区间:(4,+∞)

拐点:(4,0)

希望这个详细的解析能够帮助你理解函数的单调性、极值和凹凸性等概念。如果还有其他问题,欢迎在回复中提出。