问：
x的平方/根号下a平方- x平方的不定积分是多少
答：
这个不定积分的计算过程如下:
1) 被积函数是:f(x) = x^2 / √(a^2 - x^2)
2) 首先,整体函数是个有理函数,所以积分是存在的。
3) 对于分母中的√(a^2 - x^2),利用三角函数的转换公式:sinx = √(1 - cos^2 x),可以将其转换为:
√(a^2 - x^2) = a sinθ
4) 于是,整个被积函数可以写成:f(x) = x^2 / (a sinθ) = (x^2 / a) * (1 / sinθ)
5) 根据三角函数的基本积分公式:∫(1 / sinθ) dθ = ln|secθ + tanθ| + C
则:∫(x^2 / a) * (1 / sinθ) dθ = ∫(x^2 / a) dθ * ∫(1 / sinθ) dθ = (x^3 / 3a) * ln|secθ + tanθ| + C
6) 又因为:secθ = √(a^2 / (a^2 - x^2)) 和 tanθ = x / √(a^2 - x^2)
代入上式,则最终的不定积分结果为:
∫(x^2 / √(a^2 - x^2)) dx = (x^3 / 3a) * ln|(a / √(a^2 - x^2)) + (x / √(a^2 - x^2))| + C
也就是:
∫(x^2 / √(a^2 - x^2)) dx = (x^3 / 3a) * ln(a + √(a^2 - x^2)) + C
所以,结论就是:不定积分∫(x^2 / √(a^2 - x^2)) dx = (x^3 / 3a) * ln(a + √(a^2 - x^2)) + C
其中C为任意常数。