求根号下x平方+ a平方的不定积分。

要求根号下x平方+ a平方的不定积分,只需要运用基本的积分规则即可:

1. 首先,表达式根号下x平方+ a平方可以写成sqrt(x^2 + a^2)的形式。

2. 然后,根据“sqrt(u)的微分是1/2*u' / sqrt(u)”这个基本积分规则,sqrt(x^2 + a^2)的微分为:

(1/2)*(2x) / sqrt(x^2 + a^2) = x / sqrt(x^2 + a^2)

3. 所以,sqrt(x^2 + a^2)的不定积分为:∫x / sqrt(x^2 + a^2) dx

4. 将x / sqrt(x^2 + a^2)看作1个整体,那么根据“∫f(x) dx = F(x) + C”的基本积分公式,可以得到:

∫x / sqrt(x^2 + a^2) dx = arcsin(x/sqrt(x^2 + a^2)) + C

5. 因为arcsin的取值范围是-π/2 ~ π/2,所以C是一个任意的常数,可以使积分结果增加或减少2π的倍数。

所以,根号下x平方+ a平方的不定积分的最终表达式为:

∫sqrt(x^2 + a^2) dx = arcsin(x/sqrt(x^2 + a^2)) + C

其中C是任意常数,可以使最终积分结果在-π ~ π的范围内。

这就是利用基本的积分规则求根号下x平方+ a平方不定积分的具体过程。关键是要熟练掌握sqrt(u)和arcsin(u)的微积分表达,然后根据不定积分的基本公式求出积分结果并附加任意常数C。如果对上述积分过程还有不太清晰的地方,可以参考相关的积分学习材料进行复习。