对一组基进行希尔伯特变换之后还是一组基吗

对一组基进行希尔伯特变换之后,不一定仍然是一组基。原因在于:

1. 希尔伯特变换是线性算子,它可以将一个向量空间中的一个基变换为该空间中的另一个基。但变换后是否还是基,取决于变换矩阵的性质。

2. 如果变换矩阵是可逆矩阵,则变换后仍是一组基。因为此时原基中的每个向量可以由新基中的向量唯一线性表达,维数不变,所以仍是基。

3. 如果变换矩阵不是可逆矩阵,则变换后不再是一组基。此时原空间中的某些向量在新基中没有唯一表达,新集合中的向量线性相关,不再构成基。

4. 希尔伯特变换后的基矢量数目由变换矩阵的秩决定。如果变换矩阵的秩等于原空间维数,则变换后仍是一组基;如果秩小于原空间维数,则变换后不再是基。

5. 希尔伯特变换可理解为在原向量空间选择一个新的坐标系,原基在新坐标系下的表达由变换矩阵决定。如果变换矩阵带来的坐标变换是可逆的,则新坐标系下的向量集合仍构成基;否则则不再是基。 

例如,对标准基{(1,0),(0,1)}在R2中进行一个旋转变换,因为旋转矩阵是正交矩阵,是可逆矩阵,所以旋转变换后的向量集合仍是R2中的一组基。但如果是一個對角化變換,變換後的向量集合可能不再是基。

所以,结论是:对一组基进行希尔伯特变换之后,如果变换矩阵是可逆矩阵,则变换后仍是一组基;如果变换矩阵不是可逆矩阵,则变换后不再是一组基。它由变换矩阵的秩和性质决定。