y=（x+1）³（x-1）求最大值（x小于等于根号2/2）

given: y=(x+1)3(x-1), x<=sqrt(2)/2

要求: 求y的最大值

解:

1. 先对y=(x+1)3(x-1)进行展开,得到:

y=(x+1)3(x-1)

= (x3 + 3x2 + 3x + 1)(x-1)

= x4 - x3 - 2x2 + x + (3x3 + 9x2 + 9x - 3)

= x4 - x2 - x + 3x3 + 6x2 + 9x - 3

2. 由于x<=sqrt(2)/2, 那么x的取值范围是-1<=x<=1. 在这个范围内,x4,x3,x2的系数都是正的,所以在求最大值时只需要考虑系数为正的这3项:

y= x4 + 3x3 + 6x2 + 9x - 3

3. 为求最大值,可以取x的值为区间两端点的较大值1. 代入x=1,得到:

y = 1^4 + 3*1^3 + 6*1^2 + 9*1 - 3

     = 1 + 3 + 6 + 9 - 3

     = 16

所以,在x<=sqrt(2)/2的约束条件下,y=(x+1)3(x-1)的最大值为16.

4. 另外,如果不加x<=sqrt(2)/2这个约束条件,y的最大值会发生在x的值与1或-1更靠近的地方。这是因为(x+1)3和(x-1)这两项在x的绝对值更大时,会增长更快。但在此题中,由于有x<=sqrt(2)/2的约束,x的取值范围受到限制,最大值点移动到了x=1的位置。

希望以上步骤详细解释能够帮助您理解求解这个最大值问题的详细过程。如还有任何其他问题,也请随时提出。我很乐意提供进一步的帮助。