用第二归纳法证明数列an=1/√5[(1+√5/2)ⁿ-(1-√5/2)₂]的每一项都是自然数

要证明数列an=1/√5[(1+√5/2)n-(1-√5/2)2]的每一项都是自然数,可以采用第二归纳法,步骤如下:

1. 首先,当n=1时,a1 = 1/√5[(1+√5/2)-1] = 2是自然数,所以基本情形成立。

2. 假设当n=k时,ak也是自然数,这是归纳假设。

3. 然后证明当n=k+1时,ak+1也是自然数。

ak+1 = 1/√5[(1+√5/2)k+1-(1-√5/2)2]

= 1/√5[(1+√5/2)(1+√5/2)k -1]  (因为(a+b)n = an + n*an-1*b + ...)

= 1/√5[(1+2*√5/2)k + √5/2 - 1] 

= 1/√5[2k + √5 - 1]   (由归纳假设ak=k为自然数)

= (2k + √5 - 1)/√5

由于2k和√5都是整数,所以(2k + √5 - 1)也是整数。整数除以√5仍为整数。

所以,ak+1 = (2k + √5 - 1)/√5也是整数,即自然数。

4. 由归纳法知, if P(1) is true and P(k) implies P(k+1) is true, then P(n) is true for all n.

所以,已证明当n为1或任意正整数k时,an都是自然数。由此证明了这个数列的每一项都是自然数。

综上,采用第二归纳法,以数列的第一项和归纳假设为基础,证明了当n增加1时数列也仍然成立,由归纳法推广可知,这个数列的每一项都是自然数。所以,归纳证明成功。这是一个运用归纳法证明数学结论的例子。