圆的正N边形的边长公式

对于正N边形(N>=3),如果知道其外接圆的半径R,可以计算出正N边形每个边长的公式如下:

正三角形:边长=R*sqrt(3)/2

正四边形:边长=R*sqrt(2)

正五边形:边长=R*(sqrt(5)/2 + sqrt(10)/4)

正六边形:边长=R

以此类推,正N边形的边长公式可以归纳为:

边长=R*sqrt((N^2 - 2N*sin(π/N)) / (4*sin^2(π/2N)))

其中,R为外接圆半径,N为正N边形的边数(N>=3)。

这个公式可以推导出如下:

1. 当N=3时,即正三角形,代入公式可以得到:边长=R*sqrt(3)/2,与上述提到的正三角形边长公式相同。

2. 当N接近无穷大时,正N边形几乎成为圆,此时代入公式可以得到:边长/R=1,意味着正无穷边形的边长和外接圆半径相等,这与圆的性质相符。

3. 随着N的增加,正N边形的边长/外接圆半径的比值逐渐增大,正N边形逐渐变大。这也符合正多边形外周与内接圆周,和正多边形面积与内接圆面积的变化规律。

4. 当N是偶数时,边长公式可以化为R*sqrt(2),这说明正偶数边形的边长等于外接圆半径的sqrt(2)倍,如正四边形、正六边形等。

综上,这个公式较全面地描述了正N边形(N>=3)边长与外接圆半径之间的关系。算出外接圆半径R,就可以推算出正N边形的每个边长。随着N的增大,正N边形的边长与面积也越来越大,这与几何定义相符。所以,该公式是计算正N边形边长比较系统和准确的公式。