小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少

这个问题可以用数学归纳法来解决:

1. 如果n=1,也就是每次只翻转1个硬币,那么需要翻转总硬币数的一半,也就是100次,此时正面朝下的硬币数为100个。

2. 假设当n=k时,需要翻转f(k)次,且正面朝下的硬币数为g(k)个。

3. 当n=k+1时,我们第一次翻转k+1个硬币,正面硬币数减少k+1个,变为200-k-1个。

然后剩下的199-k个硬币中,正面朝上硬币占比仍为1/2,需要再翻转(199-k)/2次。

所以当n=k+1时,需要翻转的总次数为:f(k+1)=f(k)+(199-k)/2 +(k+1)

正面朝下的硬币数为:g(k+1)=g(k)+k+1

4. 通过数学归纳法,可以得到当n=k时:

f(k)=k(200-k)/2

g(k)=k(200+k)/2

5. 由上面两式可知,要使正面朝下的硬币数g(k)最大,需要使f(k)最小。当k=100时,f(k)取得最小值,所以当每次翻转100个硬币时,需要翻转50次,此时正面朝下的硬币数为100个,此方案最优。

所以,对这个问题的解决方案是:每次选择100个硬币翻转,需要翻转50次,这样正面朝下的硬币数最多,为100个。这是用最少次数将200个硬币的一面翻转完所需要的最优方案。

小明采取这种方案,可以用最小的翻转次数将200个硬币的一面全部翻转过来。